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Trigonometria -Equações trigonométricas
Estou revisando todo o ensino medio, visto que ingressarei em outubro na facul. Na trigonometria me deparei com esse problema e necessito de explicação para resolve-lo.Ja fiz várias pesquisas na internet porém nada me ajudou. Calcule o valor da expressão cossec x – sen x / sec x – sen x . Sabendo que cotg x= 5/2 e 0 < x < pi/2.
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Temos:
csc x – sin x / sec x – sin x
Usaremos algumas identidades trigonométricas.
A questão deu que:
cot x = 5/2
Vamos usar as seguintes identidades:
1ªcsc x = 1/sin x
2ªcot x = 1/tan x
3ª1+cot²x = csc²x
4ª1+tan²x = sec²x
Ou seja:
Usando o valor dado da cotangente na 3ª identidade acima, teremos:
1+cot²x = csc²x -> 1+(5/2)² = csc²x -> csc²x = 29/4 -> csc x = raizde29/2
Substituindo esse valor na 1ª identidade, teremos:
csc x = 1/sin x -> raizde29/2 = 1/sin x -> sin x = 2/raizde29 -> sinx = 2raizde29/29
Usando o valor dado da cotangente na 2ª identidade, teremos:
cot x = 1/tan x -> 5/2 = 1/tan x -> tan x = 2/5
Substituindo esse valor na 4ª identidade, teremos:
1+tan²x=sec²x -> 1+(2/5)² = sec²x -> sec²x = 29/25 -> sec x = raizde29/5
Substituindo os valores encontrados na expressão da questão, teremos:
csc x – sin x / sec x – sin x
(raizde29/2 – 2raizde29/29) / (raizde29/5 – 2raizde29/29) -> (25raizde29 / 58) / (19raizde29 / 145) -> (25raizde29 / 58).(145 / 19raizde29) -> 3625/1682