csc x – sin x / sec x – sin x

Usaremos algumas identidades trigonométricas.

A questão deu que:

cot x = 5/2

Vamos usar as seguintes identidades:

1ªcsc x = 1/sin x

2ªcot x = 1/tan x

3ª1+cot²x = csc²x

4ª1+tan²x = sec²x

Ou seja:

Usando o valor dado da cotangente na 3ª identidade acima, teremos:

1+cot²x = csc²x -> 1+(5/2)² = csc²x -> csc²x = 29/4 -> csc x = raizde29/2

Substituindo esse valor na 1ª identidade, teremos:

csc x = 1/sin x -> raizde29/2 = 1/sin x -> sin x = 2/raizde29 -> sinx = 2raizde29/29

Usando o valor dado da cotangente na 2ª identidade, teremos:

cot x = 1/tan x -> 5/2 = 1/tan x -> tan x = 2/5

Substituindo esse valor na 4ª identidade, teremos:

1+tan²x=sec²x -> 1+(2/5)² = sec²x -> sec²x = 29/25 -> sec x = raizde29/5

Substituindo os valores encontrados na expressão da questão, teremos:

csc x – sin x / sec x – sin x

(raizde29/2 – 2raizde29/29) / (raizde29/5 – 2raizde29/29) -> (25raizde29 / 58) / (19raizde29 / 145) -> (25raizde29 / 58).(145 / 19raizde29) -> 3625/1682